تشابه المضلعات

رياضيات - الفصل الأول تشابه المضلعات

رياضيات - الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة1

الفصل الأول

تشابه المضلعات

رياضيات - الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة2

الأهداف

تشابه المضلعات:

1-   التعرف على المضلع و عناصره .

2-   إدراك الفرق بين المضلع المحدب و المضلع المقعر .

3-   التعرف على شروط تشابه مضلعين ونسبة التشابه .

4-   معرفة العلاقة بين عناصر مثلثين متشابهين .

5-   معرفة العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين .

6-   معرفة العلاقة بين محيطي مضلعين متشابهين .

رياضيات - الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة3

تشابه المضلعات

تعريف المضلعات :

المضلع هو شكل هندسي مؤلف من اتحاد ثلاث قطع مستقيمة أو أكثر.

ويجب أن تتوافر الشروط التالية لكي نقول عن شكل هندسي إنه مضلع وهي:

1) القطع تتقاطع عند أطرافها فقط.

2) كل طرف ينتمي إلى قطعتين مستقيمتين فقط.

3) لاتوجد قطعتان مستقيمتان تشتركان في طرف واحد على استقامة واحدة .

رياضيات - الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة4

مثال:

حدّد أي شكل من الأشكال التالية يمثل مضلعاً

الحل:

الشكلان 1,  2  يمثلان مضلّعان لأنهما يحققان الشروط التي ذكرناها , بينما;   الشكل 3   لا يحقق ذلك وبالتالي فهو ليس مضلعاً.

رياضيات - الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة5

ملاحظة:


رياضيات - الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة6

مثال:

عيّن رؤوس وأضلاع كل من المضلعات في المثال السابق ثم ارسم أقطارها.

ثم أعط في كل منها أمثلة على رأسين متتالين وعلى ضلعين متجاورين.

الحل:

رياضيات - الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة7

الحل:


رياضيات - الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة8

رياضيات - محيط المضلع

رياضيات - محيط المضلع - صفحة1

محيط المضلع :

نعرّف محيط مضلع ما بمجموع أطوال أضلاع هذا المضلع.

رياضيات - محيط المضلع - صفحة2

مثال:

رياضيات - محيط المضلع - صفحة3

المضلع المحدب والمضلع المقعر

تعريف:
نقول عن المضلّع أنه محدّب إذا وقع بكامله في جهة واحدة بالنسبة لكل مستقيم يحوي ضلعاً من أضلاعه , أما إذا لم يتحقق ذلك نسميه مضلّعاً مقعّراً .

محدب مقعر

رياضيات - محيط المضلع - صفحة4

ملاحظة :

عندما نذكر مضلعاً فإننا نعني المضلع المحدب.

رياضيات - تشابه المضلعات

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة1

تشابه المضلعات

تعريف :

نقول عن مضلعين شرط أن يكون لهما العدد نفسه من الأضلاع إنهما متشابهان إذا تساوت زواياهما المتناظرة وتناسبت أضلاعهما المتناظرة

(سنوضح ذلك في الحالة التالية)

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة2

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة3

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة4

مثال:

حدد أياً من المضلعات التالية متشابهة:

       
الحل:

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة5

الحل:

المضلعان "1" و "2" متشابهان (تحقق شروط التعريف السابق)

"1" و "3" غير متشابهين

"2" و "3" غير متشابهين ( لا تحقق شروط التعريف ).

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة6

تعريف :

نسمي نسبة طولي ضلعين متناظرين في مضلعين متشابهين نسبة التشابه ويرمز لها بالحرف
.

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة7

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة8

نظرية :

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة9

نظرية :

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة10

مثال:



الحل:

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة11

الحل:

رياضيات - تشابه المضلعات - صفحة12

رياضيات - تشابه المثلثات

رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة1

تشابه المثلثات :

الحالات الثلاث لتشابه مثلّثين :

رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة2


يتشابه مثلّثان إذا تساوت زاوية من أحدهما مع زاوية من الآخر وتناسب ضلعي إحدى هاتين الزاويتين مع ضلعي الزاوية الأخرى .

رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة3

رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة4

نتائج عامة مستخرجة من الحقيقة

بعد أن تعرفنا على الحقيقة يمكننا استخراج ما يلي:

1- يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من أحدهما مع زاويتين من الآخر


رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة5

2- يتشابه مثلثان قائمان إذا تساوت زاوية حادة من أحدهما مع زاوية حادة من الآخر وذلك لأنه يوجد زاوية متشابهة في الأصل بين الاثنين وهي الزاوية القائمة.

رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة6

نظرية :

إذا تشابه مثلثان فإن نسبة ارتفاعين متناظرين فيهما تساوي نسبة التشابه.

أي أنه في حال

متشابهين فيمكننا أن نكتب ما يلي:

رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة7

ملاحظة :

يمكننا استعمال النظريات والحقيقتين السابقتين مع النتائج في برهان بعض العمليات والنظريات اللاحقة.

رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة8

نظرية :

إذا تشابه مثلّثان فإن نسبة ارتفاعين متناظرين فيهما تساوي نسبة التشابه .


رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة9

نظرية :

إذا تشابه مثلّثان فإن نسبة طولي منصفي زاويتين داخليتين متناظرتين فيهما تساوي نسبة التشابه .


رياضيات - تشابه المثلثات - صفحة10

نظرية :

إذا تشابه مثلّثان فإن نسبة طولي قطعتي مستقيم متوسطتين متناظرتين فيهما تساوي نسبة التشابه .


رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة1

العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين:

نظرية :

إذا تشابه مثلثان فإن نسبة مساحتيهما تساوي مربع نسبة التشابه

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة2

العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين:

نظرية :

إذا تشابه مثلثان فإن نسبة مساحتيهما تساوي مربع نسبة التشابه

ونرمز للمساحات :

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة3

مثال:

الحل:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة4

الحل:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة5

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة6

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة7

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة8

نظرية

إذا تشابه مضلعان فإنه يمكن تقسيم كل منهما إلى مثلثات تتشابه مع نظائرها في المضلع الآخر.

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة9

مثال:

إذا كان المضلعان
متشابهين فيمكننا أن نقول إن المثلثات الآتية متشابهة مع بعضها وذلك بعد تقسيم المضلعين
:




رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة10

نظرية:

إذا تشابه مضلعان فإن نسبة مساحتيهما تساوي مربع نسبة التشابه

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة11

ملاحظة:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة12

مثال:

الحل:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة13

الحل:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة14

مثال:



الحل:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة15

مثال

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة16

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة17

مثال:

مضلع رباعي أطوال أضلاعه 3 سم، 4 سم، 5 سم، 6 سم على الترتيب، فإذا كان أقصر طول ضلع في مضلع مشابه هو 9سم , فأوجد أطوال أضلاع المضلع الأكبر.

الحل:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة18

الحل:

بما أن المضلعين متشابهين فيمكننا كتابة ما يلي :

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة19

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة20

مثال:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة21

أوجد ما يلي:

الحل:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة22

الحل:

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة23

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة24

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة25

رياضيات - العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين - صفحة26

رياضيات - تلخيص الفصل الأول تشابه المضلعات

رياضيات - تلخيص الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة1

تلخيص الفصل الأول

تشابه المضلعات

رياضيات - تلخيص الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة2

تلخيص

- المضلع مؤلف من ثلاث قطع مستقيمة على الأقل, و كل طرف من القطع

   المستقيمة هو نقطة انطلاق لقطعتين فقط.

- القطر هو خط مستقيم يصل رأسين غير متتاليين .

- محيط المضلع يساوي مجموع أطوال أضلاعه .

- نقول عن المضلّع أنه محدّب إذا وقع بكامله في جهة واحدة بالنسبة لكل مستقيم

   يحوي ضلعاً من أضلاعه , أما إذا لم يتحقق ذلك نسميه مضلّعاً مقعّراً .

رياضيات - تلخيص الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة3

رياضيات - تلخيص الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة4

رياضيات - تمارين الفصل الأول تشابه المضلعات

رياضيات - تمارين الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة1

حدد أي من الأشكال الآتية مضلع:

           


رياضيات - تمارين الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة2

حدد أي من المضلعات الآتية محدباً:

               


رياضيات - تمارين الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة3



رياضيات - تمارين الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة4

لدينا مضلّعان متشابهان . أكمل الجدول التالي في كل من الحالات التالية :

 نسبة ضلعين فيهما      
 
 
 
 نسبة محيطيهما   
 
    
 
 نسبة مساحتيهما   
 
 
 
  


رياضيات - تمارين الفصل الأول تشابه المضلعات - صفحة5

               

 
     
سم   



رياضيات - اختبار الفصل الأول تشابه المضلعات

رياضيات - اختبار الفصل الأول تشابه المضلعات - اختبار1

حدد أي من الأشكال التالية محدباً:

اختر أحد الرؤوس وحدد عدد المثلثات الممكنة في المضلع التالي:

هذان المستطيلان متشابهان .

ما نسبة مساحة المستطيل الأكبر إلى مساحة المستطيل الأصغر ؟



رياضيات - اختبار الفصل الأول تشابه المضلعات - اختبار2


 سم
 سم